Page 14 - W Pogoni Za Nieskonczonością
P. 14

  ...MÓWI! Z TAKIM ENTUZJAZMEM I PRZEKONANIEM. WYDAWA!O MU SI", ÐE JEST TO JEGO WYK!AD ÐYCIA. CZU!, ÐE PUBLICZNO¬¬ UWAÐNIE ¬LEDZI JEGO KAÐDY GEST I S!OWO...
 POSTANOWI! ODPOWIEDZIE¬ NA PYTANIE: CZY W MATEMATYCE JEST TYLKO JEDNA NIESKO¬CZONO¬¬?
 LICZYBY NATURALNE TO: 1, 2, 3, 4, ....
NIEKTÓRZY MATEMATYCY ZALICZAJ' 0 DO ZBIORU LICZB NATURALNYCH
A CO, JEÐELI DODAMY DO SIEBIE NIESKO¬CZENIE WIELE LICZB?
ALE PROFESOR CA!KA NIE.
OKAZUJE SI", ÐE WYNIK MOÐE BY¬ SKO¬CZONY! PODAM WAM PRZYK!ADY.
ZBIÓR LICZB PIERWSZYCH JEST PODZBIOREM LICZB NATURALNYCH, ZATEM LICZB NATURALNYCH JEST NIESKO¬CZENIE WIELE.
ZOBACZCIE:
JEDYNK" MOÐEMY ZAPISA¬ JAKO NIESKO¬CZON' SUM" ODWROTNO¬CI KOLEJNYCH POT"G DWÓJKI!
POWIEMY, ÐE ZBIÓRDJREUSTGIPRPZREZLYIKC!ZADLN,YT,OJEN¬LIIESUKDOA¬CSIZ"OJNEAGOSUEMLAEMOEDNTWYRUOSTNAOW¬IC¬IWKWCAI'DGRANTUÓMWERLOIWCZABNYNLAICTUZBRAMLNIYNCAHT.URALNYMI. NP. ZBIÓR LICZB PARZYSTYCH DODATNICH JEST PRZELICZALNY:
LICZBY PARZYSTE DODATNIE: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
SÓB:
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH NIE JEST PRZELICZALNY. LICZB RZECZYWISTYCH JEST ZA DUÐO BY JE PONUMEROWA¬ LICZBAMI NATURALNYMI.
NUMERACJA:
TAK SAMO MOÐEMY POST'PI¬ Z LICZBAMI PIERWS6ZYMI WYPISUJ'C JE PO KOLEI
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
ORAZ LICZBAMI CA!KOWITYMI (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...), WYPISUJ'C JE W SPRYTNY SPO
 n n
LICZBY PIERWSZE: LICZBY CA!KOWITE: NUMERACJA:
n
2, 3, 0, 1, 1, 2,
5, 7, 11, -1, 2, -2, 3, 4, 5,
13, ... 3, ... 6, ...
ALE NIESKO¬CZONO¬CI W MATEMATYCE JEST WI"CEJ!
KU ZDZIWIENIU ZEBRANYCH, PROFESOR CA!KA POKAZA! ZBIORY WI"KSZE NIÐ PRZELICZALNE.
 ...POCH!ONI"TY ¬WIATEM MATEMATYKI W"DROWA! DO CORAZ CIEMNIEJSZYCH JEJ ZAK'TKÓW...
 DOWÓD
ROZWAÐMY JEDYNIE ICH MA!Y PODZBIÓR [0, 1) TZN. WSZYSTKIE LICZBY WI"KSZE B'D¬ RÓWNE 0 I MNIEJSZE OD 1.
ZNA!-ÓLÐIMCYZ,BÐYENZABTIUÓRA[L0N, E1) =JE{S1T, 2PR, Z3E, L.I.C.}ZALNY, ZATEM WSZYSTKIE JEGO ELEMENTY MOÐNA USTAWI¬ W CI'G NUMEROWANY LZIC-ZBLAICMZIBNYACTUAR!AKLONWYMIIT.EO=ZN{A..C.,Z-M2Y, J-E1,P0RZ, E1,Z2X,1,..X.}2, X3, X4, ... .
}
 Q - LICZBY WYMIERNE = { =
 TK
CYFRY ROZWINI"CIA DZIESI"TNEGO TWORZ' TABEL",
NIESKO¬CZENIE D!UG' W PRAWO (JE¬LI JAKA¬ LICZBA
MA SKO¬CZONE ROZWINI"CIE DZIESI"TNE TO DALEJ MA SAME ZERA), ORAZ NIESKO¬CZENIE D!UG' W DÓ!.
WYBIERZMY Z NASZEJ TABELI ELEMENTY Z PRZEK'TNEJ (ROZPOCZYNAJ'C OD DRUGIEJ KOLUMNY): 2, 5, 3, 4, 9, ....
PRRZ-YKL!IACDZBOYWREZLEICZYBWY IZSETEZB
W
S
ZY
S
IE
L
I
C
ZB
YNNEAPOIOSNIOLWICOZ.BOWEJ X1 = 0, 2 3 7 9 3 ...
IO
U
ALEF ZERO X5 = 0,
...
R
[0
,
1)
US
T
A
W
IO
X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0,
4 5 7 2 1 ... 1 0 3 8 4 ... 7 1 2 4 6 ... 8 6 8 0 9 ...
  CONTINUUM
  KAÐDY Z TYCH ZBIORÓW JEST NIESKO¬CZONY.
NAST"PNIE DODAJMY JEDEN DO KAÐDEJ CYFRY RÓÐNEJ OD 9. A JE¬LI CYFRA JEST RÓWNA 9
ZBIORY N, Z, Q MAJ' T" SAM' MOC,
TO ZAMIE¬MY J' NA 0. WÓWCZAS OTRZYMUJEMY CI'G: 3, 6, 4, 5, 0, ....
ALE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH MA WI"KSZ'. PEWNIE TRUDNO WAM W TO UWIERZY¬, ALE MATEMATYK
NIECH LICZBA X MA W ZAPISIE DZIESI"TNYM 0, A PO PRZECINKU UZYSKANY W TEN SPOSÓB
POTRAFI PORÓWNYWA¬ LICZB" ELEMENTÓW
CI'G CYFR. X JEST ELEMENTEM ZBIORU [0, 1), ALE RÓÐNI SI" OD X1, BO NA PIERWSZYM
W ZBIORACH NIESKO¬CZONYCH.
MIEJSCU PO PRZECINKU MA INN' CYFR", RÓÐNI SI" RÓWNIEÐ OD X2, BO NA DRUGIM MIEJSCU PO PRZECINKU MA INN' CYFR", ITD.
ZATEM POKAZALI¬MY, ÐE ISTNIEJE ELEMENT ZBIORU [0, 1), KTÓRY NIE ZOSTA! ZAPISANY W CI'GU X1, X2, X3, X4, .... UZYSKANA SPRZECZNO¬¬ DOWODZI,
ÐE ZBIÓR [0, 1) NIE JEST PRZELICZALNY, WI"C TYM BARDZIEJ WI"KSZY OD NIEGO ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH RÓWNIEÐ NIE JEST PRZELICZALNY.























   12   13   14   15   16