Pochodne po bieszczadzkich szlakach

– Wstawać śpiochy! – Ściany niewielkiej chatki zadrżały od wrzasku Taty! – Idziemy w góry!

Beta, Bit i Tata dzień wcześniej przyjechali do Schroniska pod Małą Rawką na wakacje. Ostatkiem sił po całodniowej podróży wtargali bagaże do małego pokoiku. Pokoik miał piękny widok na bieszczadzkie połoniny, ale tego dzieci nie zauważyły. Bez sił padły na łóżka i zasneły. A teraz ktoś przerywa ich błogi sen.

– Tato, przecież są wakacje! – Beta z zamkniętymi oczami podjęła próby negocjacji.

– Tato, przecież jest noc! – Bit zakopany pod kołdrą starał się zrozumieć dlaczego ktoś przerywa jego sen.

– Jaka noc? Już 6 rano! – Zawołał entuzjastycznie Tata. – Chodźcie, zaplanujemy trasę na dzisiaj!

Beta i Bit zadrżeli. Już sama pobudka o tak skandalicznie wczesnej godzinie była karygodnym przestępstwem. Ale wygląda na to, że szykuje się coś dużo gorszego. ,,Planowanie’’, czyli, w żargonie Taty, szczegółowe roztrząsanie możliwych za i przeciw stojących przed pozornie banalnymi wyborami. Może trzeba było udawać, że z powodu pandemii odwołano wakacje i szkoła wciąż trwa?

– Chodźcie na dół, śniadanie już czeka! – Tata dorzucił zbiegając po schodach na dół.

Kilka minut później.

Beta i Bit pałaszowali jajecznicę, jednocześnie z niepokojem patrząc na swojego tatę. Stał w akademickiej pozie przy ścianie na której zawieszona była wielka mapa okolicy i mruczał pod nosem analizując możliwe trasy. Zanosiło się na wykład.

– Może zacznijmy od najkrótszej? – Zasugerowała Beta. Zabrała ze sobą pokaźną kolekcję książek i chciała spędzić popołudnie na hamaku czytając jedną z nich.

– Albo od najbardziej płaskiej? – Dodał Bit. Ten z kolei zabrał ze sobą sporą kolekcję elektronicznego sprzętu i nie chciał go wnosić po stromych szlakach.

– To świetny pomysł! A czy wiecie jak sprawdzić, który szlak jest najbardziej płaski? – Oczy Taty zapłonęły w niepokojący sposób.

– Stąd do restauracji? Wygląda na dosyć płaski. – Bit już wiedział co się zbliża.

– Być może. Ale czy wiecie jak to sprawdzić? Policzmy pochodną po Bieszczadach!

Jak policzyć pochodną?

Pochodna to określenie używane w analizie matematycznej do opisu jak szybko zmienia się pewna funkcja. Pochodne mają wiele zastosowań w praktycznie każdym aspekcie naszego życia. Podstawy rachunku różnicowego (inne określenie na pochodne) znane były już starożytnym. Ale za ojca tego obszaru matematyki wskazuje się Isaaca Newtona lub Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Panowie kłócili się między sobą kto był pierwszy i ten spór trwa nawet po ich śmierci. Ale jest to temat na inne opowiadanie.

Aby wyjaśnić czym jest pochodna przyjrzyjmy się przykładowej trasie z Przełęczy Wyżyniańskiej na Krzemieniec przez Małą i Wielką Rawkę.

Na mapie turystycznej ten szlak jest dosyć kręty. Ale w parkach narodowych nie można schodzić ze szlaków, więc na tę trasę możemy patrzeć nie przez pryzmat współrzędnych geograficznych ale przez profil wysokości. Na rysunku z marginesu profil wysokosci jest pokazany w prawym dolnym rogu.

Portal mapa-turystyczna.pl pozwala na pobranie informacji o szlaku w formacie gpx. Wystarczy kliknąć przycisk Pobierz GPX w bocznym panelu by pobrać szczegółowe informacje o trasie.

Tak pobraną trasę możemy wczytać do programu R. Poniższe przykłądy są całkowicie reprodukowalne. Więc jeżęli chcielibyście sprawdzić je na swoich komputerach na szlakach z Bieszczad lub innych gór, możecie wykorzystać zaprezentowane instrukcje.

Wszystkie funkcje niezbędne by odtworzyć te przykłady znajdują się w pakiecie BetaBit. Instrukcja library() wczytuje ten pakiet. Następnie wykorzystujemy funkcje read_gpx() do wczytania danych i funkcje plot do narysowania szlaku.

library("BetaBit")
krzemieniec <- read_gpx("krzemieniec_wyznianska.gpx", name = "Krzemieniec")
plot(krzemieniec)

W wyniku otrzymamy wykres z profilem wysokości.

Najwyższy punkt na tym wykresie to Wielka Rawka a wcześniejszy szczyt to Mała Rawka. Pomiedzy tymi szczytami jest całkiem przyjemne przejście granią. Ale już z powyższego profilu widzimy, że przed Małą Rawką czeka nas całkiem strome podejście.

Pochodna opisuje jak szybko wznosi lub opada szlak. Jeżeli na 100 metrów szlaku wznosi się on o 1 metr to tempo wzrostu wynosi zmiana_wysokości/zmiana_odległości czyli 1/100. Oczywiście na odcinku 100 metrów szlak może trochę się wznosić i trochę opadać więc aby mieć dokładniejsze oszacowanie trzeba by sprawdzić o ile szlak wznosi się na odcinku 10 metrów. Albo jeszcze lepiej na odcinku 1 metra. A jeszcze dokładniej byłoby gdybyśmy mierzyli te zmiany na odcinku 10 cm. Oczywiście ten odcinek możemy zmniejszać i zmniejszać. Pochodna definiowana jest matematyczne jak tempo zmiany na bardzo małym (nieskończenie małym odcinku).

Ale odległości w górach są duże, więc my zadowolimy się odcinkami o długości 10 metrów.

Pochodna to przyrost wysokości na nieskończenie małym odcinku.

Zobaczmy jak wygląda pochodna ze szlaku z Przełęczy Wyżniańskiej na Krzemieniec.

plot(krzemieniec, type = "difference")

Bita interesowała stromość szlaku. Ponieważ szlak trzeba przejść w dwie strony więc spadek nachylenia w jedną stronę będzie wzrostem nachylenia w drodze powrotnej. Zobaczmy więc jak się zmienia wartość bezwzględna z pochodnych po szlaku.

Poniższy wykres to tak zwany wykres pudełkowy. Pokazuje pięć liczb. Końcówki wąsów pokazują jakie było najmniejsze nachylenie na szlaku (oczywiście 0), jakie było największe nachylenie (tutaj 1.5 cm na metr). Brzegi i środek pudełka pokazują odpowiednio jakie nachylenie ma 25%, 50% i 75% szlaku. W tym przypadku tego szlaku połowa kroków ma nachylenie poniżej 0,4 cm na metr.

Mam nadzieję, że jesteście już przekonani, że pochodna to użyteczne narzędzie do analizy szlaków w górach. Pomóżmy teraz Bitowi w wyborze najbardziej płaskiego szlaku z trzech, które rozważa Tata. Ponownie z serwisu https://mapa-turystyczna.pl/ pobieramy informacje o szlakach:

• Z Przełęczy Wyżniańskiej na Krzemieniec,
• Z Ustrzyk Górnych na Tarnice,
• Z Wetliny do Chatki Puchatka przez Szare Berdo.

Zobaczmy jak wyglądają profile wysokości tych szlaków.

library("BetaBit")
krzemieniec <- read_gpx("krzemieniec_wyznianska.gpx", "Krzemieniec")
tarnica     <- read_gpx("tarnica_ustrzyki.gpx", "Tarnica")
chatka     <- read_gpx("chatka_wetlina.gpx", "Chatka Puchatka")
plot(krzemieniec, tarnica, chatka)

Z pewnością szlak na Krzemieniec jest najkrótszy. Ale czy najprostszy? Zobaczmy jak wyglądają pochodne dla tych trzech szlaków.

plot(krzemieniec, chatka, tarnica, type = "difference")

Dużo sie dzieje na tych szlakach, mają one nieregularne przebiegi. Znacznie łatwiej nam będzie porównać nachylenia jeżeli podsumujemy pochodne z użyciem wykresów pudełkowych.

Jak myślicie, którego szlaku nie powinien wybrać Bit?